<T->
          Matemtica
          Imenes & Lellis
          7 ano
          Ensino Fundamental

          Luiz Mrcio Imenes
          Marcelo Lellis
                                
          Impresso Braille em
          8 partes na diagramao de
          28 linhas por 34 caracteres,
          da 1 edio, So Paulo,
          2009, Editora Moderna Ltda.

          Quarta Parte

          Ministrio da Educao
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~, 
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2012 --
<p>
          Dados do livro em tinta
          
          (C) Luiz Mrcio Imenes,
          Marcelo Lellis 2009

          Coordenao editorial:
          Juliane Matsubara Barroso

          Coordenao de arte:
          Wilson Gazzoni Agostinho

          Coordenao de reviso:
          Elaine Cristina del Nero

          ISBN 978-85-16-06259-0 

          Todos os direitos reservados
           Editora Moderna Ltda.
          
          Rua Padre Adelino, 758 
          -- Belenzinho -- So Paulo
          -- SP -- Brasil -- 
          CEP 03303-904
          Tel.: (11) 2602-5510
          Fax: (11) 2790-1501 
          ~,www.moderna.com.br~,
          2011
<p> 
                               I
 Sumrio

 Quarta Parte

 Captulo 7

 Proporcionalidade ::::::::: 355
 Ao/Investigao --
  Usando Matemtica para 
  fazer previses :::::::::: 355
 Grandezas diretamente 
  proporcionais :::::::::::: 357
 Mais proporcionalidade 
  direta ::::::::::::::::::: 371
 Grandezas inversamente 
  proporcionais :::::::::::: 392
 Um toque a mais --
  Pequena coleo de 
  problemas :::::::::::::::: 406

 Captulo 8

 Geometria: do espao 
  para o plano ::::::::::::: 413
 Conhecendo os poliedros ::: 413
 Ao --
  Analisando poliedros :::: 420
 Vistas, mapas, plantas 
  e cortes ::::::::::::::::: 431
 Ao --
  Desenhando a planta ::::: 439
 Localizao de pontos 
  no plano ::::::::::::::::: 442
 Um toque a mais --
  Geometria da bola de 
  futebol :::::::::::::::::: 456

<135>
<Tmat. i. & l. 7>
<T+355>
 Captulo 7

 Proporcionalidade

 Ao/Investigao

 Usando Matemtica para fazer
  previses

  Forme um grupo com mais dois colegas para pensar nas situaes propostas.
Para responder s perguntas, vocs devero fazer previses com base em
clculos. Ateno: nem sempre se consegue prever o que vai acontecer por
meio de clculos! Nesses casos, o grupo dever explicar por que no  possvel
fazer a previso.
  Anotem as concluses. Depois, o professor coordenar um debate para discutir
as solues apresentadas.
<p>
 Situao 1

  O carro de 1978 do vov gastou 1,5 h para andar 43 km. Se o carro continuar a viagem na mesma velocidade, ser possvel prever quantos quilmetros ele andar nas prximas 3 h?
  Se for possvel, digam quantos quilmetros ele percorrer.

 Situao 2

  Daniela tem 2 anos e 81 cm de altura. Fazendo clculos, ser possvel prever a altura de Daniela aos 6 anos?
  Se for possvel, digam qual ser sua altura.

 Situao 3

  Observe o folheto da cafeteira de dona Marta. Com essas informaes, ser possvel calcular quantas colheres de p de caf e a quantidade de gua para fazer 24 cafezinhos?
  Se for possvel, faam os clculos.

<R+>
_`[{folheto adaptado: 8 cafezinhos -- 3 colheres cheias de p de caf -- 0,5 L de gua_`]
<R->

 Situao 4

  Aos 30 minutos de jogo, meu time ganhava de 3 a 1. Como um jogo de futebol dura 90 minutos, qual ser o placar final?
  Se no for possvel dizer qual ser esse placar, expliquem por qu.

<136>
Grandezas diretamente
  proporcionais

  Na Ao, voc percebeu que, em algumas situaes, foi possvel prever o que iria acontecer fazendo clculos. Essas situaes envolviam grandezas diretamente proporcionais. Para entender o que 
<p>
isso significa, vamos analisar um exemplo.

 Exemplo

  Certo helicptero pode percorrer 150 km em 0,5 h. Mantendo essa velocidade, quantos quilmetros ele percorrer em 2 h?
  Nessa situao, o tempo gasto e a distncia percorrida so grandezas diretamente proporcionais. Isso quer dizer que, se o tempo dobrar, a distncia tambm dobrar; se o tempo triplicar, a distncia tambm triplicar e assim por diante. H um padro que relaciona as duas grandezas: se o tempo gasto for multiplicado por determinado nmero, a distncia percorrida ser multiplicada pelo mesmo nmero.
<p>
  Veja como resolver o problema usando proporcionalidade. Primeiro, organize as informaes do problema em uma tabela:

<R+>
_`[{tabela adaptada_`]

<F->
 !:::::::::::::::::::::::::::::
 l Tempo h _ Distncia km _
 r::::::::::::w:::::::::::::::::w
 l 0,5       _ 150            _
 r::::::::::::w:::::::::::::::::w
 l 2,0       _ '''             _
 h::::::::::::j:::::::::::::::::j
<F+>
<R->

  Note que, de 0,5 h para 2 h, o tempo foi multiplicado por 4 (descobre-se o nmero 4 fazendo 20,5 mentalmente). Como o tempo e a distncia so grandezas diretamente proporcionais, voc 
<p>
pode multiplicar a distncia tambm por 4. Observe como fica a tabela:

<R+>
_`[{tabela adaptada_`]

<F->
 !:::::::::::::::::::::::::::::
 l Tempo h _ Distncia km _
 r::::::::::::w:::::::::::::::::w
 l 0,5       _ 150            _
 r::::::::::::w:::::::::::::::::w
 l 2,0       _ 600            _
 h::::::::::::j:::::::::::::::::j
<F+>
<R->

  Concluso: em 2 h, o helicptero percorrer 600 km.
  Ateno! Nem sempre h proporcionalidade numa situao, como no caso do jogo de futebol, que voc j analisou. Naquela situao, o tempo de jogo triplica, de 30 min para 90 min. Voc acha que o placar vai triplicar?  muito provvel que no! Tempo de jogo e placar no so grandezas proporcionais. Alis, no h relao alguma entre essas grandezas que permita usar a Matemtica para obter o placar final. O time que est perdendo pode at mesmo virar o jogo!

<137>
<R+>
_`[{o homem ao ler um dicionrio diz: "grandeza -- algo que pode ser medido. Comprimento, temperatura, tempo, massa e rea so 
exemplos de grandeza. E pequeneza, o que ser?"_`]

 Conversando sobre o texto

 a) Que distncia o helicptero citado no texto percorre em 15 minutos?
 b) D exemplo de uma situao em que duas grandezas so diretamente proporcionais.
 c) D exemplo de uma situao em que, aumentando a grandeza X, a grandeza Y tambm aumenta, mas X e Y no so diretamente proporcionais.
 d) Explique o que se entende por grandeza. D exemplos.
<R->

 Problemas e exerccios

  Quase todos os problemas e exerccios deste captulo podem ser solucionados fazendo-se clculos mentais. Tente resolv-los dessa maneira; porm, se no conseguir, voc pode fazer clculos por escrito.

<R+>
 1. Veja os preos das assinaturas das revistas.

_`[{revista "Olhe!"_`]

 !::::::::::::::::::::
 l Durao  _ Preo  _
 l (meses) _ R$   _
 r:::::::::::w:::::::::w
 l 3        _ 25,00  _
 r:::::::::::w:::::::::w
 l 6        _ 50,00  _
 r:::::::::::w:::::::::w
 l 12       _ 100,00 _
 h:::::::::::j:::::::::j
<p>
_`[{revista "Rock"_`]

 !::::::::::::::::::::
 l Durao  _ Preo  _
 l (meses) _ R$   _
 r:::::::::::w:::::::::w
 l 6        _ 63,00  _
 r:::::::::::w:::::::::w
 l 12       _ 120,00 _
 h:::::::::::j:::::::::j

 a) O preo da revista *Olhe*  diretamente proporcional  durao da assinatura? Justifique sua resposta.
 b) O preo da revista *Rock*  diretamente proporcional  durao da assinatura? Justifique sua resposta.

 c) _`[{a garota diz: "O preo deve ser proporcional  durao da assinatura. No dobro do tempo, voc tem o dobro de revistas e deve 
pagar o dobro"_`]
<p>
  O que a garota diz faz sentido. Entretanto, muitas vezes a proporcionalidade no ocorre. O editor da revista pode propor um plano para voc assin-la pelo dobro do tempo, mas pagando menos que o dobro. Tente explicar por que isso acontece.

<138>
 2. Faa o que se pede.
 a) Copie e complete a tabela, que se refere a quadrados, no caderno.

<F->
 !:::::::::::::::::::::::::::::
 l Lado  _ Permetro _ rea  _
 l  cm    _     cm     _ cm2  _
 r::::::::w::::::::::::w::::::::w
 l 10    _ 40        _ 100   _
 r::::::::w::::::::::::w::::::::w
 l 15    _ '''        _ '''    _
 r::::::::w::::::::::::w::::::::w
 l 20    _ '''        _ '''    _
 r::::::::w::::::::::::w::::::::w
 l 25    _ '''        _ '''    _
 h::::::::j::::::::::::j::::::::j
<F+>
<p>
 b) Em um quadrado, se o lado dobrar de comprimento, o permetro tambm dobrar? Se o comprimento do lado triplicar, o permetro tambm triplicar? O permetro  diretamente proporcional ao comprimento do lado?
 c) Em um quadrado, se o comprimento do lado dobrar, a rea tambm dobrar? H proporcionalidade direta entre a rea e o comprimento do lado?

 3. Se for possvel, resolva os problemas usando proporcionalidade. Caso contrrio, informe que no h proporcionalidade. Resolva de maneira organizada, fazendo tabelas e completando-as.
 a) Em certa fbrica, 4 mquinas produzem 11.600 parafusos por dia. Se a fbrica usasse 6 mquinas desse tipo, quantos parafusos seriam produzidos por dia? *Dica*: 6=41,5.
<p>
 b) Certo jornal tem uma tiragem de 50.000 exemplares por dia, e cada exemplar custa R$1,40. 
  Quanto deve custar outro jornal cuja tiragem seja de 100.000 exemplares por dia?
 c) Para construir um muro de 9 m de comprimento, Joo trabalhou 2,5 dias. Quantos dias ele trabalharia se o muro tivesse a mesma altura, mas 36 m de comprimento?

 4. A seguir, h trs perguntas que devem ser respondidas com palavras. Justifique suas respostas.
 a) O recipiente _`[no adaptado_`]  cilndrico. A quantidade de lquido em seu interior  diretamente proporcional  altura do lquido, isto , dobrando a altura, dobra-se a quantidade de lquido? Triplicando uma, triplica-se a outra?
 b) No recipiente _`[no adaptado_`], a quantidade de lquido  
<p>
  diretamente proporcional  altura do lquido?
 c) Numa pequena indstria, h um tanque de leo *diesel* _`[no adaptado_`].
  O nmero de litros de leo *diesel* em seu interior  diretamente proporcional  altura *x*, isto , dobrando a altura *x*, dobra-se o nmero de litros de leo *diesel*?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<139>
 Problemas e exerccios para casa

 5. Esta receita de gelatina rende 10 pores.

 Modo de preparo:
 Dissolver 5 folhas de gelatina em 400 mL de gua fervente.
 Juntar 400 mL de suco de laranja e 54 colheres de acar.
<p>
  Diga qual  a quantidade necessria de ingredientes para preparar:
 a) 40 pores.
 b) 15 pores. *Dica*: 15=101,5.

 6. Veja as superfcies ladrilhadas _`[no adaptadas_`].
  Esses pequenos ladrilhos tm todos um mesmo tamanho. Sabendo disso, responda:
 a) Os lados do retngulo A tm 2 cm e 3 cm e sua rea  6 cm2. Mea os lados dos outros retngulos e calcule suas reas.
 b) Copie e complete a tabela no caderno.
<p>
 !:::::::::::::::::::::::::::::::
 lFigura _ rea     _ N.o de   _
 l        _ cm2   _ ladrilhos _
 r::::::::w:::::::::::w:::::::::::w
 l A     _ 6        _ 24       _
 r::::::::w:::::::::::w:::::::::::w
 l B     _ '''       _ '''       _
 r::::::::w:::::::::::w:::::::::::w
 l C     _ '''       _ '''       _
 h::::::::j:::::::::::j:::::::::::j

 c) Responda: o nmero de ladrilhos  diretamente proporcional  rea? Justifique sua resposta.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 7. O piso de um salo com 60 m2 foi recoberto por 1.341 ladrilhos iguais. Se o salo tivesse apenas 20 m2, quantos desses ladrilhos seriam usados? *Dica*: 20=60#,c.

 8. Se possvel, resolva os problemas usando proporcionalidade. Caso contrrio, escreva um texto explicando por que a situao citada no envolve proporcionalidade.
 a) Em certo colgio, o professor Jak d aulas para uma classe de 7 ano com 24 alunos. Ele recebe R$23,00 por aula. Quanto ele receberia por aula se, na classe, houvesse 36 alunos?
 b) O ponteiro grande de um relgio gira 120 em 20 min. Em 5 min, seu giro corresponde a quantos graus?
 c) Para fabricar 30 kg de farinha, usam-se 40 kg de gros de trigo. Com 60 kg de gros de trigo, quantos quilogramas de farinha podem ser fabricados?
 d) Jussara trabalha numa empresa h 3 anos e recebe salrio de R$1.100,00. Claudemir trabalha nessa mesma empresa h 6 anos. Que salrio ele recebe?
<p>
 9. Ceclia resolveu ampliar o desenho _`[no adaptado_`].
  Veja os desenhos _`[no adaptados_`] que ela fez.
  Usando a ideia de proporcionalidade, explique por que a segunda tentativa ficou muito melhor do que a primeira.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<R->

<141>
Mais proporcionalidade direta

  Vamos analisar mais algumas situaes em que h proporcionalidade direta. Voc aprender outra maneira de resolver problemas envolvendo proporcionalidade.

Exemplo 1

  Em 6 bengalas de po, o padeiro gasta 1.800 g de farinha. Quanto gastar em 5 bengalas?

<R+>
_`[{um padeiro segurando um cartaz diz: "Bem...  um caso de proporcionalidade. Mas... de 6 para 5... Por quanto devo 
multiplicar?"_`]

_`[{cartaz adaptado em forma de tabela em duas colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Bengalas
 2 coluna: Farinha

<F->
pcccccccclcccccccccc
l 1    l 2      _
v--------l----------_
l 6     l 1.800 g _   
v--------l----------_
l 5     l  ...     _
v--------l----------#
<F+>

_`[{o padeiro diz: "Se em 6 bengalas uso 1.800 g de farinha, em cada bengala uso 300 g". Segurando um cartaz diz: "Entendi! 
5 vezes 300  1.500. Em 5 bengalas uso 1.500 g de farinha"_`]

_`[{cartaz adaptado em forma de tabela em duas colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Bengalas
 2 coluna: Farinha

<F->
pccccccccclcccccccccc
l 1     l 2      _
v---------l----------_
l 6300 l 1.800 g _   
v---------l----------_
l 5300 l 1.500 g _
v---------l----------# 
<F+>
<R->

  Compreendeu a ideia? A quantidade de farinha  sempre igual ao nmero de bengalas multiplicado por 300.
  Algo parecido ocorre em qualquer situao de proporcionalidade direta. Por isso, podemos *generalizar*: quando duas grandezas so diretamente proporcionais, o valor de uma delas  igual ao valor correspondente da outra mul-
<p>
tiplicado sempre por um mesmo nmero.

<R+>
 Procure no dicionrio: generalizar.
<R->

  Ento, nas tabelas com valores de duas grandezas diretamente proporcionais, h relaes multiplicativas na vertical e na horizontal.

<R+>
_`[{tabelas adaptadas em duas colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Grandeza A
 2 coluna: Grandeza B
<R->

<F->
<R+>
Relaes multiplicativas na 
  horizontal
<R->

pccccccccclcccccccccc
l 1     l 2      _
v---------l----------_
l 45   l 20      _   
v---------l----------_
l 85   l 40      _
v---------l----------# 
<F+>

<R+>
Relaes multiplicativas na 
  vertical
<R->

<F->
pccccccccclcccccccccc
l 1     l 2      _
v---------l----------_
l 42   l 202   _   
v---------l----------_
l 8      l 40      _
v---------l----------#
<F+>

<142>
 Exemplo 2

  Os comprimentos em um mapa devem ser diretamente
proporcionais aos comprimentos reais. Por isso, todo mapa tem
uma escala, que indica a relao entre o comprimento real e o do
mapa. No mapa _`[no adaptado_`], a escala  de 1 cm para 540 km. Isso
significa que cada 1 cm no mapa vale 540 km na realidade.
  Com a escala, conseguimos saber por quanto devemos multiplicar os
comprimentos do mapa para obtermos os comprimentos reais. Por exemplo,
medimos, no mapa, a distncia Rio-Braslia e obtemos 1,7 cm. Com essa medida,
calculamos a distncia real, que  918 km.

<F->
pcccccccccccclcccccccccccccccccc
l Mapa cm l Realidade km  _
v------------l------------------_
l 1         l 540             _   
v------------l------------------_
l 1,7       l 918             _
v------------l------------------#
<F+>

 1540=540
 1,7540=918,0

 Exemplo 3

  H outras maneiras de nos referirmos  proporcionalidade.

<R+>
_`[{a menina diz: "Na minha rua, h 4 meninas para cada grupo de 3 meninos". O menino diz: "Como assim?"_`]
<R->

  O menino no entendeu o que a garota disse porque no conhecia a expresso 4 para 3. Quando h 4 meninas para 3 meninos, pode haver 8 meninas e 6 meninos ou 12 meninas e 9 meninos etc.
<143>
  Veja a tabela que mostra essa proporcionalidade:

<F->
pccccccccccclcccccccccc
l Meninas  l Meninos _
v-----------l----------_
l 4        l 3       _   
v-----------l----------_
l 8        l 6       _     
v-----------l----------_
l 12       l 9       _
v-----------l----------_
l 16       l 12      _
v-----------l----------#

42=8; 32=6
43=12; 33=9
44=16; 34=12
<F+>

  Veja outras maneiras de expressar essa proporcionalidade entre o nmero de meninas e o de meninos:
<p>
<R+>
 o o nmero de meninas e o nmero de meninos esto na proporo de 4 para 3;
 o o nmero de meninas est para o de meninos assim como 4 est para 3;
 o os nmeros de meninas e de meninos esto na razo 4 para 3.
<R->

 Exemplo 4

  Nos grficos de setores, a medida do ngulo de cada setor  diretamente proporcional  quantidade representada pelo setor.
  O grfico _`[no adaptado_`] mostra que, de cada 10 brasileiros, 3 vivem fora das cidades, e 7 em cidades. As medidas dos ngulos so diretamente proporcionais aos nmeros 3 e 7. Cada medida  igual ao nmero da segunda coluna multiplicado por 36.

<R+>
_`[{tabela adaptada em trs colunas; contedo a seguir_`]
<p>
 1 coluna: Situao de vida dos brasileiros
 2 coluna: Nmero de brasileiros
 3 coluna: Medida do ngulo do setor
 Legenda:
 A: Brasileiros que vivem fora das cidades
 B: Brasileiros que vivem nas cidades
 C: Total de brasileiros

<F->
pccccclccccclccccccc
l 1 l 2 l 3   _
v-----l-----l-------_
l A  l 3  l 108} _   
v-----l-----l-------_
l B  l 7  l 252} _     
v-----l-----l-------_
l C  l 10 l 360} _
v-----l-----l-------#

1036=360}
<F+>
<R->
<p>
 Conversando sobre o texto

<R+>
 a) Os nmeros da coluna A so diretamente proporcionais aos da coluna B. Explique essa proporcionalidade com base nos padres multiplicativos observados na tabela.

 !::::::::::
 l A  _ B  _
 r:::::w:::::w
 l 5  _ 40 _
 r:::::w:::::w
 l 10 _ 80 _
 h:::::j:::::j

<144>
 b) Na tabela anterior, experimente dividir, um pelo outro, dois nmeros da mesma coluna. O que voc nota?
 c) No exemplo do padeiro, qual seria a quantidade de farinha necessria para fazer 14 bengalas?
 d) Se a escala de um mapa  1:1.000.000, cada centmetro 
<p>
  no mapa representa quantos quilmetros na realidade?
 e) Cite dois nmeros que esto na razo 5 para 2. D mais dois exemplos.
 f) No texto, foram apresentadas duas aplicaes importantes do conceito de proporcionalidade. Que aplicaes so essas?
 g) O que a populao que vive no campo produz  muito importante para o pas. Voc sabe o que ela produz?
 h) Em certo municpio, de cada 4 trabalhadores, 1  subempregado. Representando essa situao num grfico de setores, quantos graus tem o ngulo do setor que corresponde aos trabalhadores empregados?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<p>
 Problemas e exerccios

 10. Copie e complete as tabelas no caderno para que os nmeros da coluna A sejam diretamente proporcionais aos da coluna B:
 a)
 !:::::::::::
 l A   _ B  _
 r::::::w:::::w
 l 0,8 _ 13 _
 r::::::w:::::w
 l 3,2 _ ''' _
 h::::::j:::::j

b)
 !::::::::::
 l A  _ B  _
 r:::::w:::::w
 l 4  _ 20 _
 r:::::w:::::w
 l 7  _ ''' _
 r:::::w:::::w
 l ''' _ 50 _
 h:::::j:::::j
<p>
c)
 !::::::::::
 l A  _ B  _
 r:::::w:::::w
 l 28 _ 7  _
 r:::::w:::::w
 l 16 _ ''' _
 h:::::j:::::j

d)
 !::::::::::
 l A  _ B  _
 r:::::w:::::w
 l 4  _ ''' _
 r:::::w:::::w
 l 6  _ 9  _
 r:::::w:::::w
 l 9  _ ''' _
 h:::::j:::::j

 11. Na festa de aniversrio de Regina havia 5 meninas para 3 meninos.
 a) D trs possibilidades para o nmero de meninas e de meninos na festa.
<p>
 b) Na festa havia, ao todo, 48 jovens, meninas ou meninos. Quantas eram as meninas? E quantos eram os meninos?

<145>
 12. Em que escala foi feito o mapa _`[no adaptado_`], que exibe parte da regio Norte? Descubra a escala e expresse-a na forma 1 cm:x km, sabendo que, de Manaus a Rio Branco, h aproximadamente 1.100 km em linha reta.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 13. Obtenha dois nmeros que esto na razo 5 para 2 cuja soma  84.
<p>
 Resoluo

  Comeamos com esta tabela:

 !:::::::::::::::::
 l A  _ B  _ Soma _
 r:::::w:::::w:::::::w
 l 5  _ 2  _ 7    _
 r:::::w:::::w:::::::w
 l 10 _ 4  _ 14   _
 r:::::w:::::w:::::::w
 l 15 _ 6  _ 21   _
 h:::::j:::::j:::::::j
 l ''' _ ''' _ '''   _
 h:::::j:::::j:::::::j

  Fazendo mais algumas tentativas, encontramos os nmeros procurados: 60 e 24.
<p>
 !:::::::::::::::::
 l A  _ B  _ Soma _
 r:::::w:::::w:::::::w
 l 5  _ 2  _ 7    _
 r:::::w:::::w:::::::w
 l ''' _ ''' _ '''   _
 r:::::w:::::w:::::::w
 l 60 _ 24 _ 84   _
 h:::::j:::::j:::::::j

 14. Em certa cidade, uma pesquisa mostrou que, para cada 2 pessoas que torcem para o time A, h 3 pessoas que torcem para o time B.
 a) Nessa cidade, h cerca de 15.000 pessoas que torcem para o time B. Quantos devem ser, aproximadamente, os torcedores do time A?
 b) Qual , aproximadamente, o total de habitantes dessa cidade que torcem para o time A ou para o time B?

 15. Foram entrevistados 40 alunos de um colgio de Porto Alegre, obtendo-se os seguintes resultados: 10 torcem para o Grmio, 15 para o Internacional e 15 no quiseram responder. Esses dados foram representados no grfico _`[no adaptado_`].
  Sem usar transferidor, descubra a medida de cada um dos ngulos do grfico. *Dica*: raciocine com base nas informaes da tabela a seguir.

_`[{tabela adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Nmero de torcedores
 2 coluna: Medida do ngulo do setor
<p>
<F->
pcccccccccccccccccccccccclccccccc
l 1                    l 2   _
v------------------------l-------_
l 10 (Grmio)        l '''   _
v------------------------l-------_
l 15 (Internacional) l '''   _
v------------------------l-------_
l 15 (sem resposta)   l '''   _
v------------------------l-------_
l 40 (total)          l 360} _
v------------------------l-------#

==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<146>
 Problemas e exerccios para casa

 16. Um pai s pode gastar R$66,00 na mesada de seus dois filhos. Ele estabeleceu que o valor da mesada ser diretamente proporcional  idade dos filhos. O mais velho tem 12 anos, e o mais novo 10. Quanto vai receber o mais velho?
<p>
 17. O elefante africano foi desenhado na escala 1:60. Qual  sua altura na realidade? *Dica*: use rgua.

_`[{desenho no adaptado_`]

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 18. Num mapa, uma estrada retilnea de 175 km foi desenhada com 3,5 cm. Em que escala esse mapa foi feito?
 19. Todas as manhs, Flvia vai comprar po e volta para casa pelas ruas Leopardo e das Raposas. Quantos metros ela anda nesse trajeto de ida e volta? *Dica*: use rgua.

_`[{figura no adaptada_`]

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 20. Resolva os trs problemas seguintes. Nem todos esto relacionados com proporcionalidade.
 a) Um trem, com a velocidade mdia de 40 km/h, vai de uma cidade a outra em 2 h. Se a velocidade do trem fosse 80 km/h, em quanto tempo ele faria o trajeto?
 b) Trs torneiras iguais, completamente abertas, despejam juntas 5 L de gua por minuto. Nove torneiras iguais a essas, completamente abertas, quantos litros de gua despejariam juntas por minuto?
 c) Imagine que uma pessoa conte um boato a outras duas. Na segunda hora, cada uma das duas repete o boato a outras duas. Na hora seguinte, cada uma dessas pessoas reconta o boato a outras duas. Ao todo, 15 pessoas j sabem do boato. Suponha que este prossiga espalhando-se segundo esse padro. Quatro horas depois de a primeira pessoa ter comeado a espalhar o boato, quantas delas, ao todo, j estaro sabendo dele?

 21. Em certo pas, a populao  composta de diversas etnias. De cada 12 habitantes, 5 so afrodescendentes (negros), 5 descendem de europeus (brancos) e 2 so de origem indiana (seus ancestrais vieram da ndia). Usando transferidor e compasso, construa um grfico de setores para representar essa informao.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<R->

<147>
<p>
 Grandezas inversamente
  proporcionais

  Robson tem 16 exerccios de Lngua Portuguesa para fazer. Veja o que ele pensou:

<R+>
_`[{robson pensa: "Se eu fizer 4 exerccios por hora, vou gastar 4 horas! Mas se eu fizer 8 exerccios por hora, gastarei 2 horas. 
Se eu fizer 16 exerccios por hora, gastarei 1 hora somente. Decidido! Fao tudo em 1 hora!  s no assistir  televiso"_`]
<R->

  Nessa situao, h uma novidade: a proporcionalidade inversa. Veja:

<R+>
_`[{tabela adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Nmero de exerccios por hora
 2 coluna: Horas de trabalho
<p>
<F->
pcccccclccccccc
l 1  l 2   _
v------l-------_
l 4   l 4    _   
v------l-------_
l 8   l 2    _     
v------l-------_
l 16  l  1   _
v------l-------#

42=8; 42=2
44=16; 44=1
<F+>
<R->

  Esse  um caso de grandezas inversamente proporcionais: se a primeira dobra, a outra se reduz  metade; se a primeira triplica, a outra se reduz  tera parte, e assim por diante. Portanto, o padro que relaciona as duas grandezas : se uma delas  multiplicada por um nmero (que no pode ser zero), a outra  dividida por esse mesmo nmero.
  Nos problemas, voc encontrar mais exemplos desse tipo de proporcionalidade.

 Conversando sobre o texto

<R+>
 a) Quando duas grandezas so inversamente proporcionais?
 b) Na tabela de proporcionalidade inversa do texto, se voc multiplicar os dois nmeros de cada linha, vai notar um padro tpico da proporcionalidade inversa. Explique qual  esse padro.
 c) Uma *pizza* vai ser dividida em partes iguais. Ela poderia ser repartida entre 2 pessoas, ou entre 3 pessoas, ou entre 4 etc. O tamanho de cada pedao  direta ou inversamente proporcional ao nmero de pessoas?
 d) D um exemplo de grandezas inversamente proporcionais.

<148>
 Problemas e exerccios

 22. Resolva os problemas. Copie e complete as tabelas no caderno:
<p>
 a) Numa loteria, R$80.000.000,00 sero divididos entre os acertadores. Qual ser o prmio de cada um?

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::
l nmero de    _ prmio       _
l acertadores  _ (em reais) _
r::::::::::::::w::::::::::::::w
l 1           _ 80.000.000  _
r::::::::::::::w::::::::::::::w
l 4           _ '''          _
r::::::::::::::w::::::::::::::w
l 8           _ '''          _
h::::::::::::::j::::::::::::::j
<F+>

 b) As bactrias reproduzem-se por bipartio; isso significa que uma bactria se divide em duas novas bactrias. Um bilogo observa, no microscpio, um tipo de bactria que se biparte a cada hora. Qual ser, a cada hora, o nmero de bactrias?
<p>
<F->
 !::::::::::::::::::::
 l Tempo  _ N.o de   _
 l  h    _ bactrias _
 r:::::::::w:::::::::::w
 l 0      _ 1        _
 r:::::::::w:::::::::::w
 l 1      _ 2        _
 r:::::::::w:::::::::::w
 l 2      _ 4        _
 r:::::::::w:::::::::::w
 l 3      _ '''       _
 r:::::::::w:::::::::::w
 l 4      _ '''       _
 h:::::::::j:::::::::::j
<F+>

 c) Um jato atingiu a altitude de cruzeiro e voa a uma velocidade constante de 920 km/h. Quantos quilmetros ele percorre?
<p>
<F->
 !:::::::::::::::::::::
 l Tempo  _ Distncia _
 l  h    _    km    _
 r:::::::::w::::::::::::w
 l 1      _ '''        _
 r:::::::::w::::::::::::w
 l 2      _ 1.840     _
 r:::::::::w::::::::::::w
 l 3      _ '''        _
 h:::::::::j::::::::::::j
<F+>

 d) A durao de uma viagem depende da velocidade do veculo. Quanto tempo se gasta para ir de carro de So Paulo ao Rio de Janeiro?

<F->
 !::::::::::::::::::::::::
 l velocidade      _ tempo _
 l mdia km/h   _ h   _
 r:::::::::::::::::w:::::::w
 l 45             _ 10   _
 r:::::::::::::::::w:::::::w
 l 90             _ '''   _
 h:::::::::::::::::j:::::::j
<F+>
<p>
 23. Responda s perguntas, que se referem aos quatro problemas anteriores:
 a) O prmio citado no problema a)  diretamente ou inversamente proporcional ao nmero de acertadores, ou no h proporcionalidade?
 b) O nmero de bactrias citado no problema b)  diretamente ou inversamente proporcional ao tempo transcorrido, ou no h proporcionalidade?
 c) H alguma proporcionalidade na situao do problema c)?
 d) Em relao  viagem de carro de So Paulo ao Rio de Janeiro citada no problema d), o tempo  diretamente ou inversamente proporcional  velocidade, ou no ocorre nenhuma proporcionalidade?

<149>
 24. Observe, cuidadosamente, o movimento das engrenagens _`[no adaptadas_`]. Note que, enquanto a menor d uma volta completa, a maior gira s meia-volta.
 a) Enquanto a engrenagem pequena d 4 voltas completas, quantas voltas d a engrenagem grande?
 b) Conte os dentes de cada engrenagem. Depois, copie e complete a tabela no caderno.

<F->
 !::::::::::::::::::::::::::::
 l engrenagem _ n.o de _ n.o de  _
 l            _ dentes _ voltas  _
 r::::::::::::w::::::::w:::::::::w
 l grande     _ '''    _ 2      _
 r::::::::::::w::::::::w:::::::::w
 l pequena    _ '''    _ 4      _
 h::::::::::::j::::::::j:::::::::j
<F+>

 c) O nmero de voltas que cada engrenagem d  inversamente proporcional ao nmero de dentes? Justifique sua resposta.
<p>
 d) Que relao existe entre o nmero de voltas dadas pela engrenagem grande e o nmero de voltas dadas pela pequena?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 25. Considere duas engrenagens, uma com 12 dentes e outra com 36 dentes. Enquanto a menor d 9 voltas completas, quantas voltas d a maior?

 Problemas e exerccios para casa

 26. Copie e complete as tabelas no caderno. Os nmeros da coluna A devem ser inversamente proporcionais aos da coluna B:
<p>
 a)  
<F->
 !::::::::::
 l A _ B   _
 r::::w::::::w
 l 2 _ 100 _
 r::::w::::::w
 l 4 _ '''  _
 r::::w::::::w
 l 8 _ '''  _
 h::::j::::::j
<F+>

 b)
<F->
 !::::::::::
 l A  _ B  _
 r:::::w:::::w
 l 36 _ 1  _
 r:::::w:::::w
 l 12 _ ''' _
 r:::::w:::::w
 l ''' _ 9  _
 h:::::j:::::j
<F+>
<p>
c)
<F->
 !:::::::::
 l A _ B  _
 r::::w:::::w
 l 4 _ 36 _
 r::::w:::::w
 l 6 _ ''' _
 h::::j:::::j
<F+>

d)
<F->
 !:::::::::::
 l A   _ B  _
 r::::::w:::::w
 l 2,5 _ 42 _
 r::::::w:::::w
 l '''  _ 21 _
 r::::::w:::::w
 l '''  _ 14 _
 h::::::j:::::j
<F+>

 27. Todas as semanas, num pro-
  grama de televiso, uma mesma quantia em dinheiro  repartida entre os vencedores de uma competio. Na semana passada, cada um de 12 vencedores rece-
<p>
  beu 4,5 milhes de reais. Nesta semana, porm, houve 18 vencedores.
 a) Apresente os dados dessa situao em uma tabela.
 b) Complete a tabela e diga quanto cada vencedor recebeu esta semana.

 28. Sabe-se que 4 operrios demoram 60 horas para empacotar determinada quantidade de cadernos. Em quanto tempo 12 operrios poderiam executar essa tarefa?

<150>
_`[{para as atividades 29 e 30, pea orientao ao professor_`]

 29. Faa o que se pede.

_`[{trs quadrados, no adaptados, em tamanhos diferentes com uma diagonal traada_`]

 a) Mea, cuidadosamente, o lado e a diagonal de cada quadrado. Organize essas medidas em uma tabela como esta:

<F->
pccccccclcccccccccc
l lado  l diagonal _
v-------l----------_
l ...   l ...      _   
v-------l----------_
l ...   l ...      _     
v-------l----------_
l ...   l ...      _
v-------l----------#
<F+>

 b) Nos quadrados, a medida do lado  diretamente ou inversamente proporcional  medida da diagonal? Para responder, desconsidere pequenas diferenas. 
 c) Quanto deve medir, aproximadamente, a diagonal de um qua-
  drado com 20 cm de lado?

 30. Faa o que se pede.
 a) Todos os retngulos _`[no adaptados_`] tm 12 cm2 de rea. Mea a base e a altura de cada um e organize esses dados numa tabela, da seguinte maneira: as bases numa coluna e as alturas na outra.
 b) Nos retngulos com 12 cm2 de rea, a medida da base  diretamente ou inversamente proporcional  da altura?
 c) Se a base de um retngulo  triplicada, o que deve ser feito com a altura para que a rea permanea igual?
<R->

Confira!

  Ao final deste captulo, esperamos que voc tenha aprendido a:
<R+>
  identificar, em situaes com duas grandezas relacionadas, se a relao  de proporcionalidade direta ou inversa, ou nenhum desses dois casos;
  resolver problemas nas situaes em que h proporcionalidade direta ou inversa, usando tabelas e clculos simples.
<R->

<151>
<p>
 Um toque a mais

 Pequena coleo de problemas

  So cinco problemas desafiadores, parecidos com os que so propostos
nas Olimpadas de Matemtica. Muitas vezes, no conseguimos resolv-los
na primeira tentativa. Por isso, voc deve fazer como as pessoas que vencem
desafios: persistir. Persistncia  uma atitude que merece ser cultivada.
  Mesmo que no se interesse em participar de Olimpadas, vale a pena
divertir-se com problemas, discutindo-os com os colegas ou dando ideias para
obter as respostas. Esses momentos de discusso e reflexo vo desenvolver
suas competncias, mesmo que no consiga encontrar a soluo.

Problema 1

   possvel representar vrios nmeros escrevendo expresses apenas com os nmeros 1, 2, 3 e 4, as operaes conhecidas e os parnteses. Os nmeros 1, 2, 3 e 4 devem aparecer somente uma vez em cada expresso. Por exemplo:
<R+>
 o 2341=2 (pois 23=8 e 841=2);
 o 3(4-2)1=6 (nesse caso, o clculo dentro dos parnteses  feito primeiro).
<R->
  Agora  sua vez. Respeitando as restries, faa o que se pede.
<R+>
 a) Escreva o 10, mas no use parnteses nem potenciao.
 b) Escreva o 1, comeando com (4-3)...
 c) Escreva o 5, comeando com 32-...
 d) Descubra como escrever 0, 3, 4, 7, 8 e 9.
<R->

Problema 2

  O transporte pblico de Bacuriti  uma beleza. Os nibus cumprem, rigorosamente, seus horrios. Veja o mapa da linha 1, em que aparecem suas quatro paradas e alguns horrios anotados:

<R+>
_`[{figura adaptada_`]
 Legenda:
 A: Prximas sadas: 8 h e 8 h 35 min
 B: Catedral: 8 h 21 min e ...
 C: Escola: 8 h 30 min e ...
 D: Prximas chegadas: ... e 9 h 13 min

<F->
BD
                            
     PRAA          
                      
AC
<F+>

<152>
 a) Descubra quanto tempo dura uma viagem de A at D.
 b) Descubra os horrios que faltam nas placas B, C e D.
 c) Decifre a tabela. Depois, copie e complete-a no caderno.
<p>
 !:::::
 l A  _ 
 r:::::w:::::
 l 21 _ B  _ 
 r:::::w:::::w:::::
 l ''' _ 9  _ C  _ 
 r:::::w:::::w:::::w::::
 l ''' _ ''' _ ''' _ D _
 h:::::j:::::j:::::j::::j
<R->

 Problema 3

  Uma loja comprou, para revenda, caixas de copos de trs tipos diferentes.
Em cada caixa h 20 copos. Cada caixa  vendida por um preo superior ao de
compra em 20%. Veja o resumo dos negcios:

<R+>
_`[{tabela adaptada em quatro colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Tipo de copo
 2 coluna: Nmero de caixas compradas
<p>
 3 coluna: Preo de compra de uma caixa R$
 4 coluna: Nmero de caixas vendidas

<F->
pccccccccclccccclcccccccclccccc
l 1     l 2 l 3    l 4 _
v---------l-----l--------l-----_
l Normal l 40 l 10,00 l 40 _   
v---------l-----l--------l-----_
l Grande l 30 l 15,00 l 24 _     
v---------l-----l--------l-----_
l Luxo   l 20 l 25,00 l 2  _
v---------l-----l--------l-----#
<F+>
<R->

  Com o valor total arrecadado nas vendas, o gerente quer repor o estoque. Ele no comprar nenhuma caixa do tipo luxo, mas deseja 10 caixas do tipo grande e o maior nmero possvel de caixas do tipo normal. Quantas caixas desse tipo podero ser compradas?

<R+>
 Problema 4 (Extrado da VII Olimpada de Matemtica Rio-platense)
<R->

  Um ceramista imaginou um novo formato de ladrilhos. Ele deve ser feito assim:
<R+>
 o toma-se um quadrado, que chamaremos {l{u{i{s;
 o marca-se o ponto O, cruzamento das diagonais {l{i e {u{s;
 o retira-se o tringulo {l{u{o e obtm-se o ladrilho {l{o{u{i{s.
<R->
  Ser que  possvel forrar o plano com esse ladrilho sem deixar buracos?
  Se for possvel, mostre, com um desenho, como os ladrilhos se encaixam e, depois, explique por que o encaixe d certo, com base nos seus conhecimentos sobre ngulos.
  Se no for possvel, mostre, com um desenho, que o encaixe no d certo e explique por que com base nos seus conhecimentos sobre ngulos.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

Problema 5

  Um carro da polcia rodoviria estava percorrendo um tnel  velocidade constante de 60 km/h. No instante em que completou #:e do percurso, um automvel, que vinha atrs, entrou no tnel a uma velocidade constante, mas excessiva. Ambos chegaram juntos ao final do tnel, e,  bvio, o segundo veculo foi multado. Qual era sua velocidade?

               oooooooooooo

<153>
<p>
 Captulo 8

 Geometria: do espao para o plano

<R+>
_`[{o contedo deste captulo, bem como as atividades propostas so predominantemente visuais. Para melhor aproveitamento, pea 
orientao ao professor_`]
<R->

 Conhecendo os poliedros

  Para explicar o que so polie-
 dros, comearemos separando as diversas figuras geomtricas em grupos, isto , faremos uma classificao dessas figuras.
  Classificar  uma atividade til para organizar e compreender as coisas. Msicas podem ser agrupadas de acordo com seus ritmos. A Biologia classifica os seres da natureza. Num supermercado, os produtos de mesma classificao costumam ficar em prateleiras prximas.
<p>
  Em geral, uma mesma coleo de coisas pode ser classificada de vrias maneiras. Por exemplo, os nmeros podem ser classificados como inteiros ou no inteiros (fraes, decimais etc). Ou tambm como positivos, ou negativos, ou zero etc. No caso das formas geomtricas, uma maneira comum de classific-las  comear separando as formas planas das no planas (ou espaciais).
  Imaginamos o plano como o tampo de vidro de uma mesa, mas sem espessura e sem limites, isto , estendendo-se em todas as direes infinitamente. Um quadrado, um crculo e uma linha reta podem fazer parte desse plano. Formas tridimensionais, como o cilindro ou a pirmide, entretanto, no podem estar contidas no plano. As bases dessas figuras podem fazer parte do plano, mas o restante delas "salta para fora do plano". Por isso, cilindros e pirmides no so formas planas.
<154>
<p>
  Temos, ento, duas categorias de formas geomtricas:
<R+>
 Formas planas ("achatadas", sem espessura): crculo, circunferncia, linha aberta sem nome, hexgono, quadrado, oval, losango, forma sem nome, linha reta, estrela de 5 pontas.
 Formas no planas (espaciais, que no cabem totalmente em um plano): cilindro, cone, esfera, pirmide, prisma, superfcie sem nome, elipsoide, hlice, forma sem nome, toro.
<R->
  Observe que certas linhas (como a circunferncia) e certas superfcies (como a de um retngulo) so figuras planas. H ou-
 tras linhas (como a hlice) e outras superfcies (como a cilndrica), que no so formas "achatadas", isto , no "cabem" num plano, por isso so formas espaciais.
<155>
  Prosseguindo na classificao, podemos separar as formas planas em dois grupos, que voc j conhece: polgonos e no polgonos.
  As formas espaciais podem ser classificadas nestes dois grupos: poliedros e no poliedros.
<156>
  A palavra *poliedro* vem da lngua grega: *poli* significa "muito"; *edro* quer dizer "assento". O bloco retangular, o cubo, os prismas em geral e as pirmides so poliedros porque tm muitos "assentos", que so suas faces. Alm dessas, h muitas outras formas polidricas. Podemos visualiz-las na natureza e nas construes humanas.

<R+>
_`[{trs figuras descritas por suas legendas_`]
 Legenda 1: Cristal de quartzo exibindo formas de poliedros.
 Legenda 2: O poliedro que lembra a bola de futebol apresenta faces pentagonais e hexagonais.
 Legenda 3: Prdio em forma de poliedro.
<R->
<p>
  As faces de um poliedro so polgonos.

<R+>
_`[{a menina, segurando um polie-
  dro, diz: "Os polgonos podem forrar o plano... e tambm cercar o espao!"_`]
<R->

  Para descrever um poliedro, mencionamos quantas faces ele tem e que tipo de polgonos elas so, quantos vrtices e quantas arestas ele possui e, eventualmente, alguma outra caracterstica.
<157>
  Veja alguns exemplos de polie-
 dros _`[no adaptados_`] e suas descries:
<R+>
 Prisma de base pentagonal. Ele tem 7 faces: 5 retngulos e 2 pentgonos (bases). Seu nmero de vrtices  10 e o de arestas 15 (10 com uma certa medida e 5 com outra).
 Prisma oblquo de base triangular. Suas faces laterais so paralelogramos. Ele possui 5 faces, 9 arestas e 6 vrtices.
<p>
 Este poliedro no  prisma nem pirmide. Ele possui 8 faces (4 tringulos equilteros e 4 hexgonos regulares), 12 vrtices e 18 arestas (todas com a mesma medida).
 Pirmide de base hexagonal. Ela possui 7 faces, 12 arestas e 7 vrtices. Suas 6 faces laterais so tringulos.
 Este poliedro tem 6 faces (2 retngulos e 4 trapzios), 8 vrtices e 12 arestas.
 Colando as bases quadradas de duas pirmides iguais, obtm-se este poliedro, chamado octaedro regular. Ele tem 8 faces, que so tringulos equilteros, 6 vrtices e 12 arestas.
<R->
  Neste item, baseados em uma classificao das formas geomtricas, abordamos a noo de polie-
 dro. H muitas palavras novas, com as quais voc se familiarizar aos poucos.
<p>
 Conversando sobre o texto

<R+>
 a) Em nossa casa, fazemos classificaes. D exemplos.
 b) Em sua opinio, qual  a importncia de fazer classificaes?
 c) Uma linha  sempre uma forma plana?
 d) Com gestos, desenhe no ar uma curva no plana.
 e) As formas planas foram classificadas em dois grupos. Quais so eles?
<158>
 f) Voc consegue imaginar outro critrio, diferente daquele usado no texto, para classificar as formas planas?
 g) Que diferenas existem entre um poliedro e um no poliedro?
 h) Voc consegue imaginar um poliedro diferente dos que apareceram no texto? Tente descrev-lo.
 i) Cilindros, cones e esferas so poliedros? Justifique a sua resposta.
 j) Um polgono pode ter apenas dois lados? No mnimo, quantos lados tem um polgono?
 k) Pode existir algum poliedro com apenas duas faces? E com apenas trs? Qual  o nmero mnimo de faces de um poliedro?
 l) Todo poliedro  um prisma?
 m) Todo prisma  um poliedro?
<R->

 Ao

 Analisando poliedros

 Primeira parte

  Forme grupo com mais dois colegas. Cada membro do grupo ser responsvel pela montagem de dois poliedros com base em suas planificaes. Essa construo poder ser feita em casa.

 Segunda parte

  Os poliedros devem ser analisados por todos os membros do grupo para evitar erros.
  Para cada poliedro, faa uma ficha com estes itens:
<R+>
 o desenho do poliedro  mo livre;
 o nmero de vrtices, de arestas e de faces;
 o nome dos polgonos das faces;
 o quantidade de arestas que saem de cada vrtice (por exemplo, no caso da pirmide de base quadrada, registre: de um vrtice, saem ''' arestas; dos outros quatro, saem ''' arestas);
 o comprimento das arestas em milmetros (por exemplo, no caso do prisma pentagonal, registre: so dez arestas com ''' mm e outras cinco com ''' mm).
<R->
  Agora, ateno: nesta Ao so montados dois prismas, duas pirmides, um octaedro e um tronco de pirmide (uma espcie de pirmide cortada). Com essas informaes e examinando as ilustraes que 
<p>
constam deste captulo, complete cada uma das fichas com o nome do poliedro montado.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<159>
<R+>
 Problemas e exerccios

 1. No caderno, copie e complete cada frase com uma das palavras ou expresses a seguir. Se tiver dvidas sobre as palavras, consulte o dicionrio que acompanha este livro.

 bloco retangular; esfera; cone; crculo; quadrado; pirmide; cilindro; losango; retngulo.

 a) Um CD tem, aproximadamente, a forma do '''
 b) Uma pilha de lanterna costuma ter, aproximadamente, a forma 
  do '''
 c) As caixas de sabo em p tm a forma do '''
 d) O Sol tem a forma de 
  uma '''
 e) Algumas casquinhas de sorvete tm, aproximadamente, a forma 
  do '''
 f) Uma folha de papel A4 sobre a mesa tem a forma do '''

 2. rica fez este resumo:

<F->
  Forma geomtrica: plana 
o polgono
o no polgono
  Forma geomtrica: espacial
o poliedro
o no poliedro
<F+>

  Com base nele, fez estas etiquetas de identificao:

 pentgono -- plano: polgono.
 cone -- espacial: no poliedro.
<p>
  Faa o mesmo que rica para estas formas _`[no adaptadas_`].

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 3. Podemos classificar os tringulos de acordo com a quantidade de eixos de simetria que eles tm. Nesse caso, formamos trs grupos de tringulos: com trs eixos, com apenas um eixo e sem eixo.

_`[{figuras no adaptadas_`]

<160>
  Os tringulos com trs eixos de simetria so chamados equilteros, porque tm trs lados i-
  guais (tambm podem ser chamados tringulos regulares, pois seus ngulos tm a mesma medida). Como so chamados os tringulos de cada um dos outros dois grupos? *Dica*: se no souber a resposta, consulte o dicionrio.
<p>
 4. Responda:
 a) Quantos vrtices, arestas e faces tem um prisma de bases hexagonais?
 b) Quantos vrtices, arestas e faces tem uma pirmide de base pentagonal?
 c) Quantos vrtices, arestas e faces tem o poliedro _`[no adaptado_`]?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 5. Pirmides e prismas tm algo em comum: todos so poliedros. Mas so figuras bem diferentes. Observe:

_`[{pirmides de bases: quadrada, triangular, decagonal e hexagonal_`]

_`[{prismas: retngular, triangular, cubo, pentagonal, hexagonal, triangular e decagonal_`]

  Veja que os prismas possuem duas bases paralelas, e as pirmides, apenas uma base.
  Agora, escreva no caderno mais duas caractersticas que diferenciam prismas de pirmides.

<F->
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  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<161>
 6. Na pgina 417, h a ilustrao de uma garota segurando um poliedro. Algumas de suas faces so quadrados, outras so tringulos equilteros. Esse polie-
  dro pode ser concebido a partir de um cubo. Imagine que sejam feitos os 8 cortes.

_`[{cubo descrito por sua legenda_`]
 Legenda: So feitos 8 cortes planos no cubo. De cada "canto", retira-se uma pequena pirmide de base triangular.
<p>
 a) Quantos vrtices, arestas e faces possui o poliedro resultante?
 b) Quantas faces so quadrados e quantas so tringulos?

 Problemas e exerccios para casa

 7. Como no exerccio 2, faa a etiqueta de identificao destas formas:
 a) esfera
 b) cilindro
 c) elipse
 d) polgono de 10 lados
 e) pirmide triangular
 f) polgono

 8. Podemos classificar os tringulos de acordo com as medidas de seus ngulos. Obtemos, ento, trs tipos de tringulos. Quais so? *Dica*: consulte o dicionrio, procurando pelos verbetes relativos a tringulo.
<p>
 9. Classifique cada afirmao em verdadeira ou falsa:
 a) Todo poliedro  pirmide.
 b) Toda pirmide  poliedro.
 c) Toda pirmide  tridimensional.
 d) Nenhum cilindro  poliedro.
 e) Todo bloco retangular  poliedro.
 f) Todo poliedro tem pelo menos quatro faces.
 g) Todo prisma tem um nmero par de vrtices.
 h) Toda pirmide tem um nmero mpar de faces.
 i) Toda pirmide tem um nmero par de arestas.

<162>
_`[{para as atividades 10 e 11, pea orientao ao professor_`]

 10. Este poliedro _`[no adaptado_`] foi obtido colando a base de uma pirmide numa das faces de um cubo.
  Descreva o poliedro, fazendo consideraes sobre suas faces, seus vrtices e suas arestas.
 11. Existe um poliedro formado por 12 pentgonos regulares. Seu nome  dodecaedro porque *dodeca* se refere a "doze". Ele pode ser montado a partir de uma planificao _`[no adaptada_`].
  Diga quantos vrtices e arestas esse poliedro tem. Descobrir isso pensando no poliedro ou em sua planificao  muito complicado. Ento, pense desta maneira:
  cada face tem cinco arestas, mas cada aresta pertence a duas faces;
  cada face tem cinco vrtices, mas, nesse poliedro, cada vrtice  comum sempre a trs faces.
<p>
 12. No caderno, copie e complete:

_`[{o smbolo ** representa o quadradinho em braille_`]

<F->
       2
   1 
     1  3
        
 2 
        
         
         
3  
<F+>

 Horizontais
 1) A Lua tem a forma de 
  uma '''
 2) O nome de uma forma espacial formada por polgonos  '''
 3) A linha reta comum a duas faces em um poliedro  
   chamada '''

 Verticais
 1) Polgonos so formas '''
 2) O cubo tem seis '''
 3) Um poliedro que tem trs faces retangulares e duas faces triangulares iguais e paralelas  um tipo de '''
<R->

 Vistas, mapas, plantas e cortes

  Algumas formas espaciais, como o bloco retangular, so tridimensionais porque tm trs dimenses: comprimento, largura e altura. Os seres e os objetos so tridimensionais.
  Para fabricar um objeto tridimensional,  preciso saber detalhes de sua forma e de suas dimenses. Porm como conhecer esses detalhes se o objeto
<163>
ainda no foi fabricado? Uma das maneiras  desenh-lo numa folha de papel. Mas aqui h uma dificuldade, pois a superfcie do papel  plana, isto , tem apenas duas dimenses. Veja, por meio de um exemplo, como essa dificuldade  contornada.
  Esta chave _`[no adaptada_`]  usada para apertar a broca em uma furadeira eltrica. Note que ela pode ser observada de vrias posies.
  Para orientar a fabricao desse objeto, podem ser representadas suas vistas simplificadas: vista superior, vista frontal e vista lateral.
  As vistas tm outras aplicaes. Mapas e plantas, por exemplo, so vistas.
  Para fazer o mapa de um lugar, tiram-se fotografias areas (fotos batidas por uma cmara localizada debaixo do avio). Tem-se, assim, uma vista superior da regio, com a qual  feito o mapa, que seria a vista superior simplificada.
<164>
  Plantas tambm so vistas superiores simplificadas, mas de regies menores. Veja a planta 
 _`[no adaptada_`] de uma sala feita por um decorador.
  Na planta de decorao, determina-se em que lugares ficaro mveis, plantas, tapetes e detalhes do ambiente.
  As vistas simplificadas so maneiras de representar em duas dimenses um objeto tridimensional, ou seja, de representar figuras espaciais no plano. Tambm pode-se fazer isso utilizando cortes. Imagina-se a figura espacial cortada por um plano de tal maneira que seja possvel ver o que h dentro dela.

<R+>
_`[{duas figuras descritas por suas legendas_`]
 Legenda 1: Cone cortado por um plano que passa pelo vrtice e pelo centro da base.
 Legenda 2: O corte do cone mostra um tringulo.
<R->

<165>
  Por exemplo, imagine que voc  um arquiteto ou arquiteta e projetou uma casa para um cliente. Voc mostrar vrios desenhos:
<R+>
 o uma planta, para seu cliente conhecer a distribuio dos cmodos;
<p>
 o uma vista frontal, para ele imaginar o aspecto da casa;
 o um ou mais cortes, para ele conhecer o interior da casa.

_`[{figuras no adaptadas_`]
<R->

 Conversando sobre o texto

<R+>
 a) Voc j viu uma fotografia area? Para que serve esse tipo de fotografia?
 b) Mapas e plantas so vistas superiores simplificadas. Que distino se faz entre planta e mapa?
 c) Seria possvel fabricar a chave da furadeira tendo como nica informao sua vista superior?
 d) Ateno: numa das vistas da chave h algo faltando. Voc consegue descobrir o que ?
 e) Explique o que  uma vista frontal de uma casa, por exemplo.
<p>
 f) No texto, h a planta de uma sala. Descreva seus mveis e localize a porta e a janela.
 g) Descreva o que se v no corte {a{a da casa _`[no adaptada_`].

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<166>
 Problemas e exerccios

_`[{para as atividades de 13 a 18, pea orientao ao professor_`]

 13. Estas so as vistas simplificadas _`[no adaptadas_`] de uma pea.
  Qual destas  a pea?

_`[{figuras no adaptadas_`]

 14. Observe a pilha de cubos e suas vistas simplificadas.

_`[{figuras no adaptadas_`]

  Agora  sua vez. Na malha quadriculada de pontos, desenhe as vistas simplificadas destas composies com cubos.

_`[{figuras no adaptadas_`]

 15. Este  um desafio. Observe a pilha. Parece que h somente 13 cubos na pilha. No entanto, h mais alguns escondidos. Para perceb-los, examine as vistas.

_`[{figuras no adaptadas_`]

  Agora, descubra quantos cubos h na pilha.
 16. Geometrilndia  uma cidade diferente.

_`[{figura no adaptada_`]

<167>
  Faa o mapa dessa curiosa cidade. Use papel quadriculado. Veja o comeo:

_`[{figura no adaptada_`]

 17. Observe o mapa _`[no adaptado_`] do Jardim Brasilndia e faa o que se pede:

_`[{um guarda diz: "Cuidado com a contramo! Todas as ruas tm mo nica!"_`]

 a) Copie e complete as frases no caderno:
  A farmcia fica numa esquina da Rua ''' com a Rua ''' A biblioteca localiza-se na Rua ''', entre a Rua ''' e a Rua '''
  Para ir de carro do supermercado ao clube, seu Augusto vai fazer este itinerrio: seguir em frente pela Rua Curitiba, virar  esquerda, na Rua Porto Alegre, e virar, novamente,  ''', na Rua '''
 b) Copie e complete as frases no caderno com uma destas palavras: *paralela* e *perpendicular*.
  A Rua Salvador  '''  Rua Curitiba e '''  Rua Recife.
  A Rua Manaus  '''  Rua Belo Horizonte e a Rua Porto Velho  '''  Rua Cuiab.

 Procure no dicionrio: paralelismo, perpendicularismo.

 c) Descreva um itinerrio para ir de carro do Banco do Brasil ao hospital.
 d) Descreva o itinerrio mais curto para ir a p do Banco do Brasil ao hospital.
 e) Imagine que voc est na porta da escola e uma pessoa, num carro, pergunta-lhe como fazer para ir  biblioteca. Escreva a explicao que voc daria a ela.

<168>
 18. Na pirmide _`[no adaptada_`], R, S e T so pontos mdios das arestas. Imagine-a cortada por um plano que passa por esses pontos.
  Feito o corte, retiremos a parte de cima da pirmide.
 a) Desenhe no caderno,  mo livre, o poliedro resultante.
 b) Faa a etiqueta de identificao desse poliedro.
<R->

 Ao

 Desenhando a planta

  Observe a sala e, no detalhe, sua planta.

_`[{figura no adaptada_`]

  Escolha um cmodo de sua casa e faa um rascunho de sua planta. No  necessrio ser detalhista, mas procure observar as propores. Por exemplo, se houver uma mesa mais comprida que uma cadeira, isso deve ficar visvel na planta. Depois, numa malha qua-
 driculada, faa a planta definitiva.

<F->
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  pea orientao ao professor  y
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<F+>

<169>
<R+>
 Problemas e exerccios para casa

_`[{para as atividades de 19 a 26, pea orientao ao professor_`]

 19. Desenhe as vistas simplificadas da pea _`[no adaptada_`]. Para facilitar, faa o desenho numa malha quadriculada de pontos.
 20. Desenhe as vistas simplificadas destas pilhas de cubos 
  _`[no adaptadas_`], sabendo que no h peas escondidas.
 21. Quantos cubos h em cada uma das pilhas do exerccio anterior?
 22. Agora, um desafio para voc. Observe a pilha _`[no adaptada_`] e suas vistas.

_`[{o menino diz: "Ateno! Tem cubo escondido atrs da pilha"_`]

  No mnimo, quantos cubos h na pilha?
<p>
  No mximo, quantos so esses cubos?
 23. Descubra quantas peas h em cada pilha _`[no adaptada_`], sabendo que no existem peas escondidas atrs delas.

<170>
 24. Mais um desafio. Cada pessoa desenhou sua vista simplificada da pilha de caixas.

_`[{figuras no adaptadas_`]

_`[{um homem diz: "Considere as cores das caixas!"_`]

 a) Numa malha quadriculada, desenhe as vistas das pessoas A e B e complete a de E.
 b) Responda: quantas caixas h na pilha?

 25. Numa fbrica, os pacotes de sabo em p so embalados em caixas de papelo. Essas caixas so empilhadas no ptio da f-
  brica, obedecendo s instrues escritas nelas _`[no adaptadas_`].
  Quantas dessas caixas, no mximo, pode haver numa pilha?
 26. Imagine uma laranja cortada ao meio por um plano perpendicular aos gomos e que divide cada gomo ao meio. Desenhe o corte que mostra o interior da laranja.
<R->

<171>
 Localizao de pontos no plano

  Estudamos figuras tridimensionais e maneiras de represent-las. Entre essas representaes esto os mapas. Eles representam regies de nosso planeta, ajudando as pessoas a se localizar. Vamos ver agora um recurso para tornar a localizao mais precisa.
  Em uma estrada, os marcos quilomtricos so esse recurso. Eles constituem um referencial, isto , permitem determinar a posio das pessoas e dos lugares ao longo da estrada.

<R+>
_`[{o motorista diz: " pra l ou pra c?". Na estrada, sorridente, v a placa "km 44"_`]
<R->

  As retas numeradas so similares s estradas com marcos quilomtricos. Os pontos da reta podem ser localizados pelos nmeros associados a eles.

::w:::w:::w:::w:::w:::w:::w:::
 -3 -2 -1  0  1  2  3

  As retas numeradas so usadas, por exemplo, na construo de grficos.
  Nos mapas h linhas imaginrias, horizontais e verticais, indicadas por medidas em graus. Elas nos ajudam a localizar com preciso cidades, barcos no oceano etc.
<172>
  Nossa capital, Braslia, est situada, aproximadamente, na latitude sul de 16 (indicada pela linha vermelha horizontal) e na longitude oeste de 48 (indicada pela linha vermelha vertical). Esses nmeros so as coordenadas geogrficas do lugar. Em um globo terrestre, as latitudes sul ficam abaixo da Linha do Equador, e as longitudes oeste,  esquerda do Meridiano de Greenwich, que atravessa a Inglaterra.

_`[{mapa no adaptado_`]

  Um dos primeiros sbios a pensar nesse referencial foi o matemtico, astrnomo e gegrafo grego Cludio Ptolomeu, no sculo II da era crist.
  Um navio  deriva poder ser socorrido facilmente se sua tripulao transmitir por rdio suas coordenadas geogrficas. Qualquer navio moderno  equipado com GPS, aparelho que determina essas coordenadas.
  Na Matemtica, para localizar pontos em um plano, usamos algo parecido com as coordenadas geogrficas.
<p>
  Traamos duas retas numeradas perpendiculares entre si, chamadas eixo de coordenadas horizontal e eixo de coordenadas vertical. Os eixos
<173>
cortam-se no ponto O, que recebe o nome de origem e corresponde ao zero de cada um deles.

<R+>
_`[{ilustrao de eixos no adaptada_`]
<R->

  Para localizar o ponto P (que se v na ilustrao), partimos da origem O e seguimos primeiro na horizontal, depois na vertical. Avanamos 3 unidades para a direita e 2 para cima. Desse modo, obtemos os nmeros 3 e 2, que so as coordenadas do ponto P.
  Para evitar confuso, os nmeros devem ser apresentados sempre nesta ordem: primeiro o avano horizontal, depois o avano vertical.
  Se quisermos chegar ao ponto Q, partindo de O, seguimos 1 unidade para a esquerda, isto , no sentido negativo, e 3 unidades para cima, sentido positivo. Por isso, as coordenadas do ponto Q so -1 e +3 ou -1 e 3. O ponto S tem coordenadas 4 e 0. E o ponto R, que coordenadas tem?
  A ideia de localizar pontos no plano, usando como referncia dois eixos perpendiculares, teve como principal criador o filsofo e matemtico francs Ren Descartes, no sculo XVII. Por essa razo, esse referencial  chamado cartesiano.  uma ideia to importante na Matemtica que voc continuar trabalhando com ela no restante do Ensino Fundamental e no Mdio. Neste ano, apenas comeamos a explorar as coordenadas cartesianas.

 Conversando sobre o texto

<R+>
 a) As retas numeradas e as estradas com marcos quilomtricos tm semelhanas e diferenas. Cite uma semelhana e uma diferena.
 b) Em algumas estradas, vemos placas como esta:

_`[{foto descrita por sua legenda_`]
 Legenda: Placa de sinalizao km 150 na Rodovia Transamaznica, AM.

  O que significa o nmero na placa?
 c) Em que ano comeou e em que ano terminou o sculo II?
 d) Qual  a utilidade das coordenadas geogrficas?
 e) Examine o mapa apresentado no texto. Algum lugar do Brasil tem latitude norte? E h algum lugar que tem longitude leste?
 f) O que so retas perpendiculares entre si?
 g) No referencial usado para localizar pontos do plano, o eixo horizontal e o eixo vertical tambm so chamados eixos cartesianos. Voc consegue explicar a origem da palavra cartesiano?
<p>
 h) Em que ano comeou e em que ano terminou o sculo XVII?
 i) No texto, foi afirmado que, para evitar confuso, as coordenadas de um ponto devem ser apresentadas sempre na mesma ordem. Se voc entendeu o que isso significa, explique.
 j) No referencial cartesiano apresentado no texto, quais so as coordenadas do ponto R? E as do ponto T?

<F->
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  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<174>
 Problemas e exerccios

_`[{para as atividades de 27 a 31, pea orientao ao professor_`]

 27. Numa folha de papel quadriculado, desenhe os eixos cartesianos e marque os pontos:
  B, de coordenadas -2 e 0;
  I, de coordenadas -4 e 3;
  R, de coordenadas 3 e 3;
  A, de coordenadas 5 e 0.
  Agora, trace o quadriltero {b{i{r{a e diga que tipo de quadriltero  ele.
 28. D as coordenadas dos pontos A, B, C e D.

_`[{figura no adaptada_`]

 29. Na figura anterior, voc notou que os pontos A, B, C e D formam um retngulo?
  Numa malha quadriculada, copie os eixos e o retngulo {a{b{c{d. Depois, marque os pontos A, B, C e D, que so os simtricos a A, B, C e D em relao ao eixo cartesiano horizontal.
  A seguir, ligue os pontos para obter o quadriltero ABCD, que  simtrico ao retngulo inicial.
  Que relao voc nota entre as coordenadas dos pontos simtri-
<p>
  cos A e A, B e B, C e C e D e D?

 30. Siga as instrues:
  Numa malha quadriculada, trace os eixos cartesianos. Marque os pontos L, de coordenadas 0 e 1, E, de coordenadas 2 e 1 e O, de coordenadas 2 e 3. Ligue-os para obter o tringulo {l{e{o.
  Depois, marque os pontos B, I e A. As coordenadas de cada um desses pontos so, respectivamente, as coordenadas dos pontos L, E e O multiplicadas por 3.
  Por exemplo, I tem coordenadas 6 e 3.
  Ligue os pontos para obter o tringulo {b{i{a.

<175>
 31. Leonardo e Beatriz compararam os tringulos {l{e{o e {b{i{a do exerccio anterior e deram as seguintes opinies:
  O tringulo {b{i{a  uma ampliao do tringulo {l{e{o.
  {b{i mede o triplo de {l{e e o mesmo acontece com os outros lados correspondentes.
  O tringulo {l{e{o  retngulo, mas sua ampliao no .
  O ngulo :?{l{o{e* mede o mesmo que o ngulo :?{b{a{i*.
  O ngulo :?{i{b{a* mede o triplo do ngulo :?{e{l{o*.
  Os lados {l{e e {b{i so paralelos, mas os lados {l{o e {b{a no so.
  Os lados correspondentes dos dois tringulos, como {l{o e {b{a, so paralelos.
  A rea do tringulo {b{i{a  o triplo da rea do tringulo {l{e{o.
  Analise essas opinies e copie, no caderno, somente as corretas.
<p>
 Problemas e exerccios para casa

_`[{para as atividades de 32 a 35, pea orientao ao professor_`]

 32. Em algumas cidades, adotam-
  -se sistemas de localizao parecidos com o sistema cartesiano, criando-se lugares planejados, com um traado geomtrico bastante regular. Podemos citar como exemplos Rio Claro, cidade do interior de So Paulo e Washington, capital dos Estados Unidos. Veja a planta 
  _`[no adaptada_`] de uma cidade desse tipo.
 a) Explique um caminho para ir a p do marco zero da cidade at o banco.
 b) Quantos quarteires deve andar uma pessoa que vai para a escola pblica pelo caminho mais curto, saindo do cruzamento da Rua 2 Oeste com a Avenida Zero?
<p>
 c) Observando as mos de direo de trfego do mapa, explique um caminho para uma pessoa ir de carro do banco at a escola de msica. *Dica*: h mais de uma possibilidade.
 d) Quantos quarteires, no mnimo, deve percorrer de carro quem vai para o banco, saindo do cruzamento da Rua 3 Oeste com a Avenida 2?
 e) Imaginando que a Avenida Zero  o eixo horizontal, a Rua Zero  o eixo vertical e o lado de cada quarteiro quadrado vale 1, quais so as coordenadas do banco? E as do teatro?

<176>
 33. Copie a figura _`[no adaptada_`] numa malha quadriculada e responda s perguntas a seguir.
 a) Quais so as coordenadas dos pontos A, B, C e D?
 b) Que tipo de quadriltero  {a{b{c{d?
 c) Desenhe o quadriltero simtrico de {a{b{c{d em relao ao eixo vertical. *Dica*: basta marcar A, simtrico a A, B, simtrico a B etc.
 d) Que relao h entre as coordenadas de dois pontos simtricos, como A e A, B e B?

 34. Numa malha quadriculada, copie o tringulo {a{b{c _`[no adaptados_`].
 a) Quais so as coordenadas dos vrtices desse tringulo?
 b) Multiplique as coordenadas de A, B e C por 0,5 para obter, respectivamente, os pontos A, B e C e diga quais so as coordenadas desses trs pontos.
 c) Desenhe o tringulo ABC, que  reduo do anterior. Multiplicando as coordenadas de seus vrtices por um nmero *x*, podemos obter o tringulo {a{b{c. Diga qual  o valor de *x*.

 35. Responda s perguntas a seguir, que se referem ao exerccio anterior:
 a) Que relao tm os comprimentos {a{b e AB?
 b) Que relao tm as medidas dos ngulos :B e :B?
 c) Os segmentos {a{c e AC so paralelos?
 d) Os segmentos {b{c e BC so paralelos?
<R->

 Confira!

  Ao final deste captulo, esperamos que voc tenha aprendido a:
<R+>
  explicar o que  figura espacial, figura plana, poliedro e figura tridimensional;
  reconhecer prismas, pirmides e alguns outros poliedros;
  desenhar vistas e cortes de algumas formas espaciais;
  localizar pontos usando o referencial cartesiano.
<R->

<177>
<p>
 Um toque a mais

 Geometria da bola de futebol

  Com superfcies planas, voc pode construir poliedros. Pode at construir
formas espaciais que tm superfcies curvas, como o cilindro ou o cone.
  Em Matemtica, dizemos que poliedros, cilindros e cones tm superfcies
planificveis. Isso significa que, nesses casos,  possvel gerar as formas tridimensionais
a partir de formas bidimensionais.
  Mas h formas espaciais que no podem ser construdas dessa maneira,
porque suas superfcies no so planificveis.  o caso da esfera.
  Essa caracterstica da esfera exigiu criatividade dos fabricantes de bolas
de vlei, de futebol, de basquete etc. Se voc observar as bolas usadas nos
esportes, perceber que h mais de uma maneira de fabric-las.
  Vamos descrever uma ideia matemtica usada na fabricao de bolas de
futebol. O dodecaedro regular  um poliedro "arredondado". Entretanto, h
outro poliedro, que possui 20 faces triangulares, mais "redondo" ainda:

<R+>
_`[{figura descrita por sua legenda_`]
 Legenda: No icosaedro regular, as 20 faces so tringulos equilteros e, cada um de seus 12 vrtices, partem 5 arestas.
<R->

<178>
  Embora seja "bem arredondada", essa "bola" cheia de bicos no poderia ser utilizada num jogo de futebol.

<R+>
_`[{dois meninos jogando futebol com uma "bola" cheia de bicos. Um deles diz: "No d para cortar os bicos desse treco?"_`]
<R->

  Parece brincadeira, mas a ideia de cortar os "bicos" desse polie-
 dro  boa. Vamos cort-los deste modo: cada aresta do icosaedro  dividida em 3 partes iguais. Este  um plano de corte. Esta seo do icosaedro  um pentgono regular. 
Fazemos um novo corte. Do mesmo modo, so extrados os outros bicos do icosaedro regular.
  O resultado  um poliedro com faces pentagonais e hexagonais bem mais "arredondado" que o icosae-
 dro. Nas bolas de futebol, esses polgonos das faces so feitos de couro e costurados um no outro. O couro  um material deformvel. Por isso, injetando ar sob presso em seu interior, essa superfcie infla, arredondando-se mais ainda e tornando-se praticamente esfrica. Os "polgonos" perdem sua forma plana e j no temos mais um poliedro, mas uma bola de futebol.
  Agora  s jogar!

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Quarta Parte